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Eine modifizierte Subgradienten-Extragradeint-Methode für Variationsungleichheitsprobleme und Fixpunktprobleme in realen Banachräumen

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A Geändert Subgradient Extragradeint Methode für Variationsungleichheitsprobleme und Fixpunktprobleme in realen Banachräumen.

ABSTRACT

Lassen E sei ein 2-gleichmäßig konvexer und gleichmäßig glatter realer Banachraum mit dualem Raum E ∗. Lassen A: C → E ∗ sei eine monotone und Lipschitz-kontinuierliche Abbildung und U: C → C sei relativ nicht expansiv. Ein Algorithmus zur Approximation der gemeinsamen Elemente der Menge der Fixpunkte eines relativ nicht expansiv Karte U und die Menge der Lösungen eines Variationsungleichheitsproblems für die monotone und Lipschitz-kontinuierliche Karte A in E sind konstruiert und es wurde nachgewiesen, dass sie stark konvergieren.

INHALTSVERZEICHNIS

Zertifizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ich
Die Genehmigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ii
Abstrakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .iii
Wissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .iv
Widmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .v
1. Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
1.1 Hintergrund des Studiums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Variationsungleichheitsproblem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Fixpunktproblem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Literaturübersicht 4
2.1 Überprüfung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1 Nicht expansives Mapping. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Theorie und Methoden 9
3.1 Definitionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Metrischer Projektionsoperator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2.1 Berechnung der Projektion auf eine geschlossene konvexe Menge in Hilbert-Räumen. . . . . 19
4 Hauptergebnis 23
4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Konvergenzsatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5-Anwendung 29
5.1 Starker Konvergenzsatz für eine zählbare Familie von relativ nicht expansiven
Zuordnungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6 Fazit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

EINFÜHRUNG

Der Begriff der monotonen Operatoren wurde von eingeführt Zarantonello [Zarantonello, 1960], Minty [Minty, 1962] und Kac˘urovskii [Kac˘urovskii1960]. Monotoniebedingungen im Kontext von Variationsmethoden für nichtlineare Operatorgleichungen wurden auch von verwendet Vainberg und zum Kac˘urovskii [Vainberg et al., 1959].

Eine Karte A: D (A) ⊂ H → H ist monoton, wenn hAx - Ja, x - yi ≥ 0 ∀x, y ∈ H. Betrachten Sie das Problem, die Gleichgewichtszustände des durch du dt + Au = 0 (1.1) beschriebenen Systems zu finden, wobei A eine monotone Abbildung auf einem realen Hilbert-Raum ist. Diese Gleichung beschreibt die Entwicklung vieler physikalischer Phänomene, die im Laufe der Zeit Energie erzeugen.

Es ist bekannt, dass viele physikalisch signifikante Probleme in verschiedenen Forschungsbereichen in eine Gleichung der Form Au = 0 umgewandelt werden können. (1.2) Im Gleichgewichtszustand reduziert sich Gleichung (1.1) auf Gleichung (1.2), deren Lösungen in diesem Fall entsprechen dem Gleichgewichtszustand des durch Gleichung (1.1) beschriebenen Systems.

LITERATUR

[Alber, 1996] Ya. Alber, (1996) Metrische und verallgemeinerte Projektionsoperatoren in Banach-Räumen: Eigenschaften und Anwendungen. In Theorie und Anwendungen nichtlinearer Operatoren vom akkretiven und monotonen Typ (AG Kartsatos, Hrsg.), Marcel Dekker, New York, S. 15-50.

[Alber et al., 2001] Ya. Alber und S. Guerre-Delabriere (2001), Über die Projektionsmethoden für feste
Punktprobleme, Analyse (München), vol. 21, nein. 1, S. 17-39.

[Baiocchi et al., 1984] C. Baiocchi, A. Capelo, Variations- und Quasi-Variations-Ungleichungen, Wiley, New York.

[Banach, 1922] S. Banach (1922). Sur les oprations dans les ensembles abstraits et leur application aux e`quations inte`grales. Fundamenta Mathematicae, 3: 133 & ndash; 181, 1922.

[Bertsekas et al., 1982] DP Bertsekas, EM Gafni (1982), Projektionsmethoden für Variationsungleichungen mit Anwendungen auf das Verkehrszuweisungsproblem, Math. Prog. Study 17, 139 & ndash; 159.

[Browder, 1965] Browder, FE, (1965): Nichtexpansive nichtlineare Operatoren in einem Banach-Raum. Proc.
Natl. Acad. Sci. USA 54, 1041 & ndash; 1044.

[Censor et al., 2011] Y. Censor, A. Gibali & S. Reich (2011), The subgradient extragradient
Methode zur Lösung von Variationsungleichungen im Hilbert-Raum, J. Optim. Theory Appl., 148, 318 & ndash; 335.

[Chidume, 1981] CE Chidume (1981), Zur Annäherung von Fixpunkten nichtexpansiver Kartierung, Houston J. math., 345-554.

[Chidume et al., 2005] CE Chidume und J. Li (2005), Projektionsmethoden zur Approximation
Fixpunkte von Lipschitz-Unterdrückungsoperatoren, Panamer. Mathematik. J. 15, no. 1, 29-39.

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